Poniżej znajdują się zadania przygotowane przeze mnie udostępniane na stronie mathlovers.eu/problems:
9.10.2025#
Udowodnij, że
$$\frac{1}{\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[3]{2025}}>200.$$6.10.2025#
Podczas Konkursu Chopinowskiego jury ocenia pianistów w skali od $1$ do $25$ punktów. Załóżmy, że w I etapie gra $n$ uczestników.
Każdy juror daje każdemu uczestnikowi ocenę całkowitą z przedziału $[1,25]$. Wynik uczestnika to średnia arytmetyczna z ocen po odrzuceniu najwyższej i najniższej.
Niech $a_1, a_2, \dots, a_k$ będą ocenami tego samego pianisty od $k$ jurorów.
Rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby całkowite $a_1, \dots, a_k$, że po usunięciu wartości największej i najmniejszej średnia nie zmienia się w porównaniu do sytuacji, gdybyśmy nie usuwali żadnej oceny.
11.09.2025#
Na tablicy napisane są liczby $1,2,3\ldots,2025$. Scarlett i Antoni grają w grę. Ruch polega na zamianie liczb:
$$(a,b,c)\longrightarrow(a+b-c,\;b+c-a,\;c+a-b).$$Grę wygrywa gracz, po którego ruchu wszystkie liczby na tablicy będą jednakowe. Zaczyna Scarlett. Rozstrzygnij kto ma strategię wygrywającą.
8.09.2025#
Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$. Niech $D,E,F$ będą spodkami wysokości z wierzchołków odpowiednio $A,B,C$. Na boku $BC$ leży punkt $K$. Niech punkt $L$ będzie przecięciem $EF$ i $AK$. Wykazać, że środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leży na odcinku $AK$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\angle ELA$ jest prosty.
14.08.2025#
Niech czworokąt $ABDC$ będzie wpisany w okrąg oraz niech $X$ to punkt przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że
$$AB \cdot AC < AX \cdot (BC+AD).$$11.08.2025#
Udowodnij, że dla $x>0$ zachodzi
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\leqslant 2\sqrt{x+3}.$$17.07.2025#
Udowodnij, że
$$\left\lfloor \sum_{n=4}^{13}\sqrt{n}\right\rfloor=28$$nie przybliżając wartości poszczególnych pierwiastków.
Uwaga: Za poprawny dowód
$$28\leqslant\sum_{n=4}^{13}\sqrt{n}\quad \quad \text{ lub } \quad \quad\sum_{n=4}^{13}\sqrt{n}<29$$można otrzymać 2 punkty.
14.07.2025#
Udowodnij, że dla całkowitego $n>1$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^{in}}=\frac{1}{n^n}+\frac{1}{n^{2n}}+\frac{1}{n^{3n}}+\ldots=\frac{1}{(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+n^{n-3}+\ldots+n+1)}.$$19.06.2025#
Wyobraź sobie, że korzystasz z tradycyjnego zegara i wybiła godzina 9:00. Po jakim czasie wskazówki zegara utworzą kąt $90^\circ$?
Rozwiąż równanie w liczbach rzeczywistych:
$$x^{2025}+x^{2024}y+x^{2023}y^2+\ldots+x^2y^{2023}+xy^{2024}+y^{2025}=0.$$Zadanie na stronie 7 w broszurze.
Dla jakich wartości $n\in \mathbb{Z_+}$ wyrażenie
$$\frac{4n^4-48n^3+168n^2-144n+60}{n^2-6n+3}$$przyjmuje wartości dodatnie całkowite?
22.05.2025#
Udowodnij, że dla dowolnego $i,n\in \mathbb{Z_+}$, $a_i, b_i, k\in \mathbb{Z}$:
$$\left( (a_1^2+kb_1^2)(a_2^2+kb_2^2)(a_3^2+kb_3^2)\ldots (a_i^2+kb_i^2) \right)^n=x^2+ky^2,$$gdzie $x,y\in \mathbb{Z}$.
19.05.2025#
Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ jest przecięciem boku $AB$ z dwusieczną kąta $ACB$. Punkty $E$, $F$ są rzutami punktu $D$ odpowiednio na proste $AC$ i $BC$. Udowodnij, że $CE = CF$.
Dane są liczby dodatnie a, b takie, że $a > b \geqslant 3$. Rozstrzygnąć, która z poniższych liczb jest większa:
$$a^b \quad \square \quad b^a$$Uzasadnić, dlaczego tak jest.
24.04.2025#
Wyznacz wartość wyrażenia
$$\text{NWD}(135,2025,2070).$$Staś do kartezjańskiego układu współrzędnych wpisał punkty: $A = (0, 7)$, $B = (2, 0)$, $C = (12, 1)$ oraz $D = (13, 9)$. Udowodnij, że czworokąt $ABCD$ ma pole równe 87.