Zadania powszednie

Pokażemy, że w tę grę nie da się wygrać.\ Załóżmy nie wprost, iż się da. Zauważmy, że suma wszystkich liczb w dowolnym momencie gry jest stała, bowiem z liczb o sumie $a+b+c$ tworzymy liczby o sumie

Wtedy suma wszystkich liczb to

zatem chcemy, by wszystkie liczby na tablicy na końcu były równe $1013$. Z drugiej jednak strony, suma kwadratów liczb na tablicy będzie się nie zmniejszać, co pokażemy poniższą nierównością. Z sumy kwadratów liczb $a^2+b^2+c^2$ tworzymy $(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2$, zatem

Używając wzoru $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ dostajemy:

Upraszczając:

Jeżeli suma kwadratów jest niemalejąca, to najmniejsza możliwa suma to

a pożądana suma kwadratów to $2025\cdot 1013^2=2077992225$, wtedy

co jest sprzecznością, bo $\sum^{2025}_{n=1}n^2$ miało być najmniejszą sumą kwadratów.

Niech punkt przecięcia wysokości to $H$. Oznaczmy $\angle BAD=\alpha$. Na czworokącie $AFHE$ możemy opisać okrąg, gdyż

Wtedy

Punkty $O$ i $H$ są izogonalnie sprzężone, zatem $O$ leży na $AK$ wtedy i tylko wtedy, gdy

Wtedy

czyli

Z nierówności trójkąta wiemy, że

Przemnażając te nierówności stronami (gdzie wszystko jest dodatnie) otrzymujemy

Zobaczmy, czym jest potęga punktu:

Definicja (potęga punktu).
Potęga punktu $A$ względem okręgu $o$ o środku $O$ i promieniu $r$ jest liczbą określoną wzorem:

gdzie $|AO|$ to odległość punktu $A$ od środka okręgu $O$, a $r$ to promień okręgu.

Z tej definicji można otrzymać ciekawe właściwości.

Twierdzenie (właściwości potęgi punktu).

• $P(A, o) > 0$ dla punktu $A$ leżącego na zewnątrz okręgu,
• $P(A, o) = 0$ dla punktu $A$ leżącego na okręgu,
• $P(A, o) < 0$ dla punktu $A$ leżącego wewnątrz okręgu.

Twierdzenie (właściwości potęgi punktu – przekątna).
Niech $A$ będzie dowolnym punktem, a $k$ prostą przechodzącą przez $A$, która przecina okrąg $o$ w punktach $B$ i $C$. Wówczas:

• Jeśli $A$ leży na zewnątrz okręgu, to $P(A, o) = |AB| \cdot |AC|$;
• jeśli $A$ leży wewnątrz okręgu, to $P(A, o) = -|AB| \cdot |AC|$.

Jeśli $D$ jest punktem styczności prostej $k$ z okręgiem, to:

Oznacza to, że w naszym zadaniu

Podstawiając do nierówności:

czyli

co należało wykazać.

Niech $a = x+1$ oraz $b = x+5$. Podstawmy do lewej strony nierówności:

Zauważmy również, że

Ponieważ $x>0$, to $x+5 > x+1 > 0$, zatem $(\sqrt{a})^2 = a$ oraz $(\sqrt{b})^2 = b$. Wtedy nasza nierówność przybiera postać:

co jest spełnione na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową.

Przypomnienie (nierówność między średnią arytmetyczną i kwadratową).
Dla dowolnych liczb $n \in \mathbb{Z}_+$ oraz $a_1, a_2, \dots, a_n > 0$ zachodzi

przy czym równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy

Musimy pokazać, że

Używając tożsamości

możemy zauważyć, że

Wystarczy pokazać, że $\frac{23}{4}<\sqrt{34}$:

Dodajemy stronami oraz dodajemy brakujące $\sqrt{4}$ i $\sqrt{9}$, co kończy dowód.

Niech $n^n = k$. Przekształćmy tezę — użyjmy wzoru skróconego mnożenia:

Zostaje pokazać, że

Zauważmy, że

Pokażemy indukcyjnie, że

Przypomnienie: Zasada indukcji matematycznej
Niech $X \subseteq \mathbb{N}$ będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Załóżmy, że spełnione są warunki:

• (B) $1 \in X$
• (I) $k \in X \Longrightarrow k+1 \in X$

Wówczas $X = \mathbb{N}$.

Baza indukcyjna. Sprawdźmy, czy dla $m=1$ zależność działa:

Założenie indukcyjne. Załóżmy, że dla pewnego $m$ teza działa:

Krok indukcyjny. Teza brzmi:

Z założenia:

Teza została udowodniona.

Wtedy

oraz

Kiedy $m \to \infty$, możemy to zapisać jako:

Zapis $\lim$ oznacza granicę — zakładamy, że coś dąży do czegoś (tutaj: $m$ dąży do nieskończoności).
Zauważmy, że kiedy $m$ rośnie, wtedy $\frac{1}{k^m}$ maleje. Gdy $m \to \infty$, wtedy $\frac{1}{k^m} \to 0$. Dlatego:

Co kończy dowód.

Po $32\frac{8}{11}$ minutach.

W godzinę wskazówka minutowa (niech będzie niebieska) porusza się o $360\degree$, czyli w minutę przekręci się o $6\degree$.

Wskazówka godzinowa (niech będzie czerwona) porusza się o $\frac{360}{12}\degree=30\degree$, czyli przesuwa się o $0,5\degree$ na minutę.

O godzinie 9:00 pozycja niebieskiej wskazówki to $0\degree$, a czerwonej – ($0\degree-90\degree$). Po $t$ minutach pozycje to $6t\degree$ i $0,5t\degree-90\degree$. Wtedy szukamy najmniejszego $t>0$, spełniającego równanie

Wtedy $5,5t+90=270$ lub $5,5t+90=-270$, czyli $5,5t=180$, $t=32\frac{8}{11}$, bo z drugiego równania wychodzi ujemny czas.

Ze wzoru skróconego mnożenia

możemy wywnioskować, że jeżeli $x-y\neq0$ (przypadek ten sprawdzimy poniżej), to

zatem $x^{2026}=y^{2026}$, wtedy $|x|=|y|$, czyli $x=y$ lub $x=-y$.

Gdy $x=y$, równanie przybiera postać

wtedy $(x,y)=(0,0)$.

Gdy $x=-y$, równanie przybiera postać

czyli rozwiązaniami równania są takie $x,y$, że $x=-y$.

Sposób 1: Podzielmy wielomian $4n^4 - 48n^3 + 168n^2 - 144n + 60$ przez wielomian $n^2 - 6n + 3$:

Zauważmy, że aby ta liczba była całkowita, $n^2 - 6n + 3$ musi być dzielnikiem 24. Wyrażenie $n^2 - 6n + 3$ dla $n = {1,2,3,4,5}$ przyjmuje wartości ujemne, dla większych liczb naturalnych jest dodatnie.

Dzielniki liczby 24 to

Dodatkowo wiadomo, że $\frac{4n^4 - 48n^3 + 168n^2 - 144n + 60}{n^2 - 6n + 3}$ jest dodatnie dla liczb całkowitych większych niż 5. Poszukajmy zatem odpowiedniego $n$.

Rozważmy równanie:

gdzie $k \in D_{24}$.

Pierwiastek z wyróżnika musi być całkowity:

czyli

Takiej postaci są tylko $k = -2$ i $k = 3$. Wtedy:

oraz

Z tych rozwiązań pasujące jest tylko $n = 6$, co jest rozwiązaniem naszego zadania.

Sposób 2: Chcemy rozdzielić licznik jako

Rozwijamy iloczyn:

Dodając $D$, mamy

Porównując współczynniki z licznikiem:

Podstawiając wszystko:

Dalsza analiza przebiega dokładnie tak jak w Sposobie 1 i daje wynik $n = 6$.